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La contradicción es símbolo de buena salud
F. Nietzsche

Desde niño he amado las paradojas. Me parecen pequeñas joyas del pensamiento. También, para mi contento y espero que de otros, he confeccionado una o dos.

“Paradoja” viene de una expresión griega que significa “contraria a la opinión” y, para ajustar el significado, diríamos que más bien se opone al sentido común.

Hay un cuento-ensayo publicado en estas páginas que se basa en una paradoja: Metáfora de lógica y absurdo.

Las paradojas son componentes indispensables de la lógica y, sobre todo, de los estudios del lenguaje. Han ejercido -desde Pitágoras hasta hoy- una fascinación sobre filósofos, matemáticos, literatos y lectores.

Las paradojas son al cerebro lo que una bicicleta fija al cuerpo: no se llega a ninguna parte, pero se ejercitan los instrumentos para llegar. Me recuerda, por cierto, esa malévola ironía de Miguel de Unamuno: “El ajedrez estimula la inteligencia… para jugar ajedrez.”

Ilustración de Lúdico.

Verdad y mentira

Ésta es de El Quijote: unos jinetes llegan a un puente donde los interceptan soldados. El de más alto rango le informa a los viajeros que para cruzar cada uno tiene que enunciar una frase. Si la proposición es correcta, pasa. Si es incorrecta se le ahorca. Puede elegir someterse a la prueba o tomar otro camino.

Si dice: “El sol es una estrella”, pasa. Si afirma: “Las vacas vuelan”, lo cuelgan, a menos que lo demuestre. La astucia “zamarra” dicta que debe expresarse una proposición obvia: “La gente viva no está muerta”, por ejemplo, tan tautológica que no agregue ninguna información y sea segura.

Pero un temerario jinete dice: “Seré colgado por mentiroso”. ¿Qué hacer? Si lo cuelgan resulta que estaba diciendo la verdad y no podría ser colgado por mentiroso. Si lo dejan pasar el hombre estaría mintiendo y deberían colgarlo por mentiroso. Sin fin, a menos que se fuerce la dialéctica…

Hay una variante de esta paradoja con Pinocho, el célebre personaje infantil. Si la marioneta dijere: “Mi nariz crecerá” hay una contradicción inmediata, sea cual sea el desenlace. Si la nariz crece dijo la verdad, de modo que no debería crecerle. Si la nariz se queda tal cual, pues fue falsa la afirmación y, por mentir, debería crecer y entonces estaría dicienlo la verdad. Imagino al pobre Pinocho con una nariz que crece y se encoge infinitamente.

Uno rápido y otro lento que llegan iguales

En el siglo V a.C. Zenón de Elea formuló su célebre paradoja de Aquiles y la tortuga. En una carrera el de los pies ligeros le da ventaja de diez metros (por decir algo) al animal. Aquiles, a su vez, corre diez veces más rápido que el quelonio.

Zenón asegura que el paladín nunca alcanza a su lenta contrincante. ¿Por qué? Aquiles avanza –por decir algo- seis metros; la tortuga 60 centímetros; el héroe se desplaza cuatro metros más, la del caparazón, 40 centímetros; el corredor avanza un centímetro, la tortuga un milímetro; nuestro héroe (trágico) un milímetro, su contrincante la décima parte de un milímetro. Aquiles siempre alcanzará la distancia recorrida por su lenta competidora, pero en la misma medida ésta avanzará una décima parte de la anterior.

Aunque física e intuitivamente es obvio que la sobrepasa, matemáticamente es impecable en afirmar que no. Dos mil años después (en los 1600) se desarrollaron las llamadas “series convergentes”, que relacionan una lista infinita con una finita. La paradoja halló una formulación más no una solución.

Todo no absoluto

Hay una de Bertrand Russell (1872-1970) que también pretende torpedear la falaz totalidad de las palabras. Se refiere a la oración: “Todo es relativo”.

Relativo significa “en relación con”. Las cosas que componen el todo se relacionan unas con otras. Pero el todo está compuesto, valga la redundancia, por todas las cosas, de modo que no hay nada externo al todo con lo que éste pueda relacionarse. Queda la cosa como que el todo, precisamente, no es relativo a cosa alguna.

Ah, excepto esa regla…

A esta la llamo “Paradoja de Excepción” y es mi primer modesto aporte a la galería de contradicciones armónicas. Dice:

La proposición “Toda regla tiene su excepción” (R) es una regla. Siendo una regla tiene que tener una excepción. Esa excepción sólo puede ser una regla sin excepción. De modo que hay, al menos, una regla sin excepción, para que pueda cumplirse R. Si R se cumple luego R es falsa. Verdad y mentira en conjunción.

Catálogo no inclusivo

Formulada por Russell, impone limitaciones a la teoría de los conjuntos. Se expresa así:

En todas las bibliotecas hay un catálogo de sus libros. En muchas de ellas el catálogo mismo figura como libro número 1. En otras el catálogo no se incluye a sí mismo. Ahora Russell pide: “Deme un catálogo de los catálogos que no se incluyen a sí mismos”.

Fácil, se cree. Si el catálogo se incluye a sí mismo, entonces hay en él al menos un catálogo que sí se incluye a sí mismo. No sirve. Si el catálogo no se incluye entonces hay, al menos, un catálogo que no se incluye a sí mismo que no figura en el catálogo. Tampoco sirve.

La asignación no se puede realizar. En los dos casos tendremos un libro de más o uno de menos.

Un automóvil y dos cabras

A esta paradoja-juego se le llama comunmente “El problema de Monty Hall” y plantea una intrigante confrontación entre la intuición y la lógica.

Veamos. Estamos en un programa de concursos. El participante tiene ante sí tres puertas (1, 2 y 3). El animador le dice que tras una de las puertas hay un automóvil y que en las otras dos hay una cabra por puerta. Es decir, un automóvil y dos cabras.

El participante debe elegir al azar una puerta. Si acierta el automóvil se lo lleva. Si tras la puerta hay una cabra se va con las manos vacías. El participante elige, por decir algo, la puerta 1. Entonces el animador, sin abrir todavía la puerta 1, abre una de las dos puertas restantes, digamos la 3 y revela una cabra. Entonces ya sabemos que tras la puerta 3 no está el automóvil.

El animador (quien sabe qué hay detrás de cada puerta) le pregunta al participante: “Sabiendo que en 3 hay una cabra ¿quiere usted cambiar su elección o la mantiene en 1?” El participante dice que se queda con 1, porque no hace diferencia saber lo de 3. Veamos.

¿Qué nos dice la intución? Que si se descarta una puerta (3) la probabilidad de que el automóvil esté en 1 o en 2 es de 1/2, es decir, 50%. Entonces ¿para qué cambiar la opción si no ganamos con hacerlo? Hasta ahí todo el mundo contento.

Pero en 1990, el problema fue planteado en la columna de Marilyn vos Savant de la revista Parade. La pregunta era: ¿qué debe hacer el participante? La respuesta de vos Savant (de quien se ha regitrado un cociente intelectual récord, superior a 170 puntos) fue tajante: debe cambiar su decisión de la puerta 1 a la 2.

La reacción fue instantánea: más de 10.000 cartas de protesta, incluida la de muchos matemáticos, PhDs, doctores en lógica, etc. Le reprochaban el error de atribuirle a la opción 2 más probabilidad cuando tenía la misma que 1.

Pero el razonamiento de vos Sant fue impecable. Y más allá de su limpieza, la respuesta pone en el tapete algunas lecciones importantes. Siempre privilegiamos la intución por encima de la lógica. Después de todo la intución es un recurso evolutivo clave para la supervivencia. No obstante, a veces la lógica nos da mejores respuestas. Examinemos.

Cuando el participante no conoce que hay detrás de ninguna de las puertas, la probabilidad de acertar el automóvil es una en tres (1/3) y la probabilidad de perder es de 2/3. Cuando el animador revela que en la puerta 3 hay una cabra, ese dato no dice nada sobre dónde está el auto, de modo que -desde la lógica- hace que se mantengan intactas las proporciones de 1/3 vs 2/3.

Ojo. La autora no dice que el automóvil está en 2. Sólo afirma que, desde la perspectiva del enunciado lógico, si el participante pasa de 1 a 2, dobla sus probabilidades de 1/3 a 2/3. Matemática, no místicamente. En esta imagen puede verse el árbol de probabilidades, en inglés (Wikipedia).

Otro enfoque dice que miremos la probabilidad de acertar (1/3) como un bloque y la de no acertar (2/3) como otro bloque. Obviamente 2/3 es mayor que 1/3. Pero el razonamiento de vos Sant va más allá. Si el participante elige A, obviamente el animador (que sabe dónde está cada cosa) abrirá una puerta en la que no esté el automóvil. Ergo, es muy factible que el automóvil esté en la puerta restante, al menos desde un punto de vista estrictamente probabilístico.

Ahora bien, el problema tiene sus condiciones. La principal: que el animador sepa qué hay tras cada puerta. Vos Sant dice: “Si el animador no tiene idea, da lo mismo qué elegir. Si el animador sabe, debes cambiar la elección” de 1 a 2.

Una interesante disyuntiva o convergencia contrastante entre intuición y lógica.

¿Un buen consejo?

Las paradojas éticas son más difusas, pero igual así intuitivas, porque se sustentan en emociones y vivencias. He aquí una muy buena de Oscar Wilde, maestro de los epigramas: “Los buenos consejos sólo sirven para pasarlos por alto”.

Si lo anterior es cierto, luego es un buen consejo. Entonces usted debe pasarlo por alto, es decir, no pasar por alto los buenos consejos. Pero si va a atender el consejo de Wilde, debe soslayarlo, es decir, no pasarlo por alto… Regreso en infinito. Deliciosa pieza intelectual.

Una obligación complicada

Otro aporte personal, más semántico que lógico:

El genio de la lámpara le dice a Aladino que le concede un deseo, sea cual sea, pero uno solo. Aladino responde: “Deseo que me lo concedas”. Imagino el siguiente diálogo:

GENIO: ¿Qué te concedo?

ALADINO: El deseo.

GENIO: ¿Qué deseo?

ALADINO: Ya lo expresé aunque no tenga objeto, pero tú debes concedérmelo.

GENIO: Pero no puedes formularlo porque sólo se te permite formular uno y ya lo hiciste, pero por otro lado debo concedértelo y para ello debes formularlo. Si lo formulas ya no es uno solo y si no lo formulas, no podré cumplirlo, a lo cual estoy obligado.

¿Y entonces?

Mascaradas del metalenguaje

La lógica moderna, el ya lejano atomismo lógico, han desactivado las paradojas clásicas con un argumento ingenioso. Las paradojas no hablan de objetos de la realidad física, sino sobre palabras que denotan tal realidad. Son referencias de referencias y, por tanto, están en un plano netamente lingüístico. Russell habló acertadamente de lenguaje (expresa objetos o sucesos físicos) y metalenguaje (un lenguaje sobre el lenguaje primario). De esta forma, lo que parezca tener sentido pero no se remita a relaciones primarias coherentes, es una proposición falsa, absurda o ambas.

Frases deshechas

Cual corolario, paradojas en líneas de grandes intelectuales:

El tiempo: si pienso en él no lo entiendo; si no pienso en él, lo entiendo. –San Agustín

Yo aún soy ateo, gracias a Dios. -Luis Buñuel

Si nos encuentran estaremos perdidos. -Groucho Marx y sus hermanos

El arte es una mentira que permite darnos cuenta de la verdad. -Picasso

Mi holgazanería no me deja tiempo libre para nada. -Alphonse Allais

La cosa más incomprensible del universo es que al final resulta comprensible. -Einstein

Y finalmente, de mi propia cosecha (de mi serie Rendijas) algunos aforismos paradójicos:

Si dios no existe, me reconcilio con él.

A veces me agoto tanto que sólo quiero seguir corriendo.

A mí la palabra “quizá” me da seguridad.

Si no tienes nada que decir, di algo.

Las calles nos cruzan.

El autoengaño es verdad.

Saber nada es lo que verdaderamente me da una licencia para hablar de todo.

Soy rápido para decir “espérenme”.

El agotamiento me impulsa.

Lo que digo de mí se aplica a todos, es decir, a nadie.

El epicentro de mis terremotos es periférico.

A veces mi nada es bastante sustancial.

Respondo con mayor gusto las preguntas que no me hacen.

Mi ego se cree más que yo.

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ILUSTRACIÓN: Lúdico.

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